无穷集合

继续听那课程(我速度够慢的啊。。)

经典的“自然数的集合与偶数的集合谁比较大”的问题(原来是伽里略第一个提出来的呀)。之前略有耳闻。但这个课程把它讲得特别清楚。

前提1: 若A是B的真子集(A的所有成员都属于B,且B内有不属于A的成员),则B的size比A大
前提2: 若A和B各自的成员能一一对应,则A和B的size一样大
前提3: 假设A是偶数的集合,B是自然数的集合
前提4: A的成员可以与B的成员这样对应:a=2b
结论:由1和3得出B比A size大;由2和4得出A和B size一样

这个互相矛盾的组合,说明前提里有需要丢掉的东西。那么你会废掉哪个前提呢?

因为之前读到过并且印象很深刻,觉得用映射来反映集合的大小是很有意义的做法,所以选了废掉1。课程里的解释非常到位。

伽里略对这个悖论最终的解决方法是,对于无穷集合,不要去讲size,没意义。后来有人说,是不是1和2里的大小,是两种大小?我们可以说A is less1 than B, A is equal2 to B。再后来,康托发现,2的比较方法能自圆其说,并且更illuminating.

这里讲到一个概念之前从来没有听说过。实际上,可以这样定义无穷集合:X是无穷集合当且仅当X的size和自己的某个子集一样大。

所以无穷集合有这种“跟自身相似”的性质——这和分形相似。

当初在图灵传里读到康托的对角线方法。我貌似已经忘记在图灵传里对角线方法是干啥用的了。但对角线方法的这种能造出一个不属于原列表的成员的过程,让人想起哥德尔定理。(我也忘记《哥德尔的证明》里有没有提到对角线原理了。。。)

Anyway,对角线方法证明了实数的集合大于自然数的集合。假如说我做了一个自然数和实数的一对一mapping,那通过对角线方法就一定能造出一个不属于你哪个mapping过的实数列表里的有理数,这就说明实数的集合大于自然数。

康托还说,无穷集合的大小,也是无穷的。他发明了一种数叫做transfinite cardinal numbers,用来标记无穷集合的size。

希尔伯特说,康托的天堂就是什么都能容纳的。(这让我穿越到了graceland的歌词啊。)

第一章(第一周的课程)是关于无穷这个概念,它结束了。这方面给我的感觉是,人类几千年的文明,怎么才开始研究无穷呢。。。

这个课程真心讲得非常的好。下一章要讲到GEB里我没读明白的Taski了。拭目以待。

之诺悖论

秀无知的来了。。

我知道之诺悖论,但从没有想到解决方法是微积分。

飞矢不动和乌龟与阿基里斯赛跑,两者的原理是一样的:飞矢要从0到1,必须经过1/2;要到达1/2必须经过1/4,等等。结论就是这么切分成无穷份以后,所需的时间也是无穷大的了。

解决这个悖论的方法:假设飞矢的速度是1,那么它按照那样切了以后所需的时间是:1/2+1/4+1/8+…这个数列趋于1 。

一种证明这个数列趋于1的方法是:

T=1/2+1/4+1/8+…,则T/2=1/4+1/8+…=T-1/2,从而T=1.

为什么以前从来没有意识到这一点。

结论1:我没有主动去想悖论意味着什么。我的确有那种容易接受权威思想的倾向,思维不够独立。而以前看的书可能只是说了就是有这样的悖论,滑稽吧~?

结论2:微积分的思想,我嘴里一直说我一窍不通。其实比我说的一窍不通还要一窍不通。

结论3:知识要消化到哲学层面才算理解。。。

对了这是我最近在听的Coursera课程Introduction to Mathematical Philosophy.

Coursera – intro statistics感想

参加了Coursera的在线课程——Statistics: making sense of data.

我跟数据打交道了那么多年(当然,只有上一份工作是要解读数据,之前和现在都在处理数据),同时,数据在生活中也无处不在。学习一些关于统计和概率的知识,也是2013的新年计划之一。几点感想如下:

终于对统计学有点入门了。什么confidence level啊,p值啊之类。关于p值,上一份工作的时候有统计专业的同事,他们会算这个东东,但当我求教它的意义的时候,他们说不清楚。它的概念是有一点点绕,但是决不是无法讲清楚的,也就是:p值是在作假设判定的时候用的。比如当你掷硬币100次,有42个是正面,如果你假设正反面的几率是一样的,那么p值就是,在假设正反面都是50%概率的情况下,观测100个样本会得到42个或者更少的概率。这个概率,也就是p值,越小,就说明假设50%概率越是错的。

统计学(以及一些其它学科)让我觉得神奇的地方是,明明是一个很粗略,没有任何数据的情况下,很多事情会有已知的规律。我指的是中心极限定理;(相应地,在没有数据的情况下,有些公式会有常数,比如常数e。)当然,这个课程没有涉及解释中心极限定理的证明,只是利用了它,讲授了一些非常基本的东西。

下一条感想是,不管学什么,有什么条件,要好好学都得靠自己花时间和精力去理解。“学习的年龄过了”,这个我很不希望承认会发生。但是要抽时间出来好好学习,并不是很容易的事情。我发现我花在工作上的时间太多了。八周的课程,后面四周的assignment和quiz,我都是踏着deadline提交的。虽然最后过了,但当中还是有很多我没有完全理解的内容。

我还是不太喜欢统计学。我更喜欢钻入问题的原理来分析,而不是通过观察外围数据来分析,那样找问题的根源,效率比较低。当然,好的统计分析,需要和背景紧密结合,判断各个因素之间的牵制关系,控制可能的有影响的因素。(想到这里想起了最近读的遗传学,其实最初就是孟德尔统计豆花得以进展的。)